algebraically closed
숙어C2formal체의 모든 다항방정식의 해가 그 체 안에 있는 상태
phrase
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체에 대해, 그 체의 원소를 계수로 갖는 모든 상수가 아닌 다항식이 그 체 안에 적어도 하나의 근을 가지는 성질을 나타내는 말C2
used of a field: having the property that every non-constant polynomial with coefficients in that field has at least one root in the field
The field of complex numbers is algebraically closed.
복소수체는 대수적으로 닫혀 있다.
The real numbers are not algebraically closed, because the polynomial x² + 1 has no real root.
실수는 x² + 1이라는 다항식이 실근을 갖지 않기 때문에 대수적으로 닫혀 있지 않다.
뉘앙스 · 쓰임
‘closed’가 일상어의 ‘닫힌’이라는 뜻이 아니라, 수학에서 어떤 연산이나 방정식을 적용해도 결과가 그 구조 안에 머문다는 의미에 가깝습니다. ‘complete’는 해석학이나 거리공간에서의 완비성과 관련될 수 있으므로 ‘algebraically closed’와 혼동하면 안 됩니다. 또한 ‘closed under addition’처럼 특정 연산에 대해 닫혀 있다는 말보다 훨씬 강한, 다항식의 근에 관한 조건입니다.
전문 수학 용어이므로 일상 대화에서는 거의 쓰이지 않습니다. 보통 사람이나 장소를 묘사하는 표현이 아니라 ‘field’, ‘extension’, ‘closure’ 등 수학적 대상과 함께 사용합니다. ‘algebraically closed field’는 자연스럽지만, 단순히 ‘the equation is algebraically closed’라고 하면 보통 부자연스럽습니다.
유의어 뉘앙스 비교
- having all polynomial roots in the field
- 정식 용어라기보다 의미를 풀어 설명한 표현입니다.
- having no proper algebraic extension
- 체론에서 동치인 성질을 나타내지만 더 전문적이고 문맥 의존적입니다.
반의어
- not algebraically closed
- 가장 직접적인 반대 표현입니다.
- algebraically incomplete
- 표준적인 반의어는 아니며, 일부 설명적 문맥에서만 제한적으로 이해될 수 있습니다.
어원 · 암기 팁
[English]‘algebraically’는 ‘algebra’에서 온 부사이고, ‘closed’는 수학에서 어떤 과정이나 연산을 해도 결과가 같은 구조 안에 남는다는 뜻으로 발전한 용법입니다. ‘algebra’는 아랍어 al-jabr에서 유래한 말로, 방정식 풀이와 관련된 수학 분야를 가리키게 되었습니다.
💡 ‘대수방정식을 풀어도 해가 밖으로 도망가지 않고 그 체 안에서 닫혀 있다’고 기억하면 쉽습니다. 복소수는 모든 다항식의 근을 품을 수 있어서 algebraically closed입니다.