locally small
숙어C2formal범주론에서, 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인
phrase
- 1
범주론에서, 임의의 두 대상 X와 Y에 대해 Hom(X, Y)가 proper class가 아니라 집합인 성질을 가진C2
In category theory, having the property that for any two objects X and Y, the collection Hom(X, Y) of morphisms from X to Y is a set rather than a proper class.
The category of sets is locally small, since the functions between any two sets form a set.
집합의 범주는 국소적으로 작다. 왜냐하면 임의의 두 집합 사이의 함수들이 하나의 집합을 이루기 때문이다.
Many constructions in category theory assume that the categories involved are locally small.
범주론의 많은 구성은 관련된 범주들이 국소적으로 작다고 가정한다.
뉘앙스 · 쓰임
일상 영어의 small은 물리적 크기나 양이 작다는 뜻이지만, locally small의 small은 집합론에서 ‘집합 크기의’라는 전문적 의미입니다. small category는 대상과 사상 전체가 집합인 범주를 말하는 반면, locally small category는 대상 전체가 클 수 있어도 두 대상 사이의 사상 모임 각각은 집합이라는 더 약한 조건을 말합니다.
일상 대화에서는 거의 쓰이지 않으며, 수학 논문·강의·교재에서 사용하는 전문 용어입니다. 보통 명사 앞에서 형용사처럼 locally small category라고 쓰거나, 서술적으로 The category is locally small이라고 씁니다. ‘지역적으로 작다’처럼 직역하면 의미가 잘못 전달될 수 있으므로, 범주론 맥락에서는 ‘국소적으로 작은 범주’ 또는 ‘hom-모임이 집합인 범주’로 이해해야 합니다.
유의어 뉘앙스 비교
- having hom-sets
- 비공식적 설명에 가깝고, locally small보다 용어로서의 고정성이 약합니다.
- locally set-sized
- 의미는 비슷하지만 locally small이 훨씬 더 표준적인 범주론 용어입니다.
반의어
- not locally small
- 가장 직접적인 반대 표현으로, 어떤 두 대상 사이의 사상 모임이 집합이 아닐 수 있음을 나타냅니다.
- having proper-class hom-collections
- 설명적인 표현이며, locally small의 부정을 더 구체적으로 풀어 말한 것입니다.
어원 · 암기 팁
[English mathematical terminology]locally는 전체 구조가 아니라 각 대상 쌍 사이의 ‘국소적’ hom-모임을 본다는 뜻이고, small은 집합론에서 proper class와 대비되는 ‘집합 크기의’라는 뜻으로 쓰입니다. 범주론에서는 전체 범주가 small하지 않더라도 각 hom-collection이 set이면 locally small이라고 부릅니다.
💡 ‘전체 범주가 작을 필요는 없지만, 두 대상 사이를 들여다보면 그 사상들의 모임은 작다’라고 기억하면 됩니다. 즉 local = 각 대상 쌍마다, small = 집합으로 다룰 수 있음.