Algebraically independent
숙어C2formal수학에서 어떤 원소들이 서로 비자명한 다항식 관계를 만족하지 않는다는 뜻
phrase
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주어진 체 위의 계수를 갖는 0이 아닌 어떤 다항식도 그 원소들을 대입했을 때 0이 되지 않는 상태C2
Having no non-zero polynomial relation with coefficients in a specified field.
The elements x and y are algebraically independent over the field K.
원소 x와 y는 체 K 위에서 대수적으로 독립이다.
If a set is algebraically independent, then none of its elements can be expressed as the root of a polynomial relation involving the others.
어떤 집합이 대수적으로 독립이면, 그 집합의 어느 원소도 나머지 원소들과 관련된 다항식 관계의 근으로 표현될 수 없다.
뉘앙스 · 쓰임
‘independent’만 쓰면 일반적인 독립성이나 선형 독립성을 뜻할 수 있지만, ‘algebraically independent’는 다항식 관계가 없다는 더 강한 대수적 조건을 말한다. ‘linearly independent’는 선형 결합만을 고려하지만, ‘algebraically independent’는 모든 다항식 관계를 고려한다.
반드시 무엇에 대해 독립적인지, 즉 ‘over a field K’와 같은 기준 체를 명확히 하는 것이 좋다. 일상 대화에서는 거의 쓰지 않으며, 수학 논문·강의·교재에서 사용하는 전문 표현이다.
유의어 뉘앙스 비교
- transcendentally independent
- 일부 문맥에서 거의 같은 뜻으로 쓰이지만, ‘algebraically independent’가 더 표준적이고 일반적인 수학 용어이다.
- algebraically unrelated
- 비공식적으로 뜻을 설명할 때 쓸 수 있으나 엄밀한 전문 용어로는 덜 적절하다.
반의어
- algebraically dependent
- 0이 아닌 어떤 다항식 관계를 만족한다는 정반대 의미이다.
- linearly dependent
- 선형 관계가 있다는 뜻으로, ‘algebraically dependent’보다 좁은 종류의 의존성을 말한다.
어원 · 암기 팁
[English mathematical terminology]‘algebraically’는 ‘대수학의 방식으로’라는 뜻의 부사이고, ‘independent’는 ‘의존하지 않는’이라는 뜻이다. 수학에서는 19세기 이후 체론과 초월수 이론이 발전하면서, 다항식 관계가 없는 원소들을 설명하기 위해 이 표현이 정착했다.
💡 ‘algebraically’를 ‘다항식으로’, ‘independent’를 ‘묶이지 않는다’로 기억하면 된다. 즉 다항식 방정식으로 서로 묶이지 않으면 algebraically independent이다.